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线性到底是什么意思?

2021-8-2 20:28| 发布者: 逍遥子| 查看: 234

如线性代数等, 它和非线性又有什么区别?

如线性代数等, 它和非线性又有什么区别?

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引用 晓西 2021-8-2 20:29
问题本身虽简单,仔细研究维基百科的页面会发现这个问题其实很值得思考:
数学里,一般说的线性,是说的线性映射,这是一个函数(或称为映射,function or map),而不是方程(equation)。这个映射要同时满足两个条件:
1,可加性 f(x + y) = f(x) + f(y)
2,齐次性(同质性) f(αx) = αf(x)
也有用 叠加特性:f(ax+by)=af(x)+bf(y) 合起来表示的。

前面有说f(x)=ax+b就是线性,但是应该叫线性方程,因为它既不满足可加性也不满足齐次性,叫线性映射是不对的,是弄混了方程和映射的概念。(如果非要给个名字,f(x)=ax+b如果表示函数或映射的话,应该叫仿射,而不是线性映射)。

至于,线性映射和线性方程的联系。可以参照
An equation written as
f(x) = C
is called linear if f(x) is a linear map (as defined above) and nonlinear otherwise. The equation is called homogeneous if C = 0.
The definition f(x) = C is very general in that x can be any sensible mathematical object (number, vector, function, etc.), and the function f(x) can literally be any mapping, including integration or differentiation with associated constraints (such as boundary values). If f(x) contains differentiation of x, the result will be a differential equation.
有兴趣的可以看明白,大致就是说线性方程的定义是f(x)=常数,并且f是个线性映射,而这里x可以是数字、向量、任意函数(包含多项式映射、微分等)。

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以上内容是看维基百科的解释自己理解的。

《线性代数》这门课程里的线性,当然是指线性映射,而且这里x不一定非是一个数,可以是向量,形成线性空间。至于特征值和特征向量,是用线性映射把二次代数方程(注意没用“非线性方程”的说法以免混淆),转化为一次的,实际上还是线性映射的应用问题之一。

多说几句,现实世界的绝大多数问题(可能是所有问题)都是非线性,绝大多数方法都是把非线性问题转化成线性来解决。“整体是部分之和”,“分而治之”,这些都是典型的线性方法的思想。

真实世界绝大多数问题还是非线性的,这时需用非线性方法解决非线性问题,非线性科学是新兴的科学,它研究的问题,比如混沌、自组织、自适应、临界现象、复杂现象等等。”部分之和不一定等于整体“,”蝴蝶效应“ 等等,都是非线性方法的一些侧面,希望能有新的数学工具出现来解决这些问题。

以上是自己的一些粗浅理解,还望高手专家来补充。

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